Question

高等数学同济七版下册多元函数求极值，希望高数的朋友帮帮忙

Answer 1

z'x=-2x，z'y=-2y

设切点为(a，b，2-a²-b²)
则切点处的法向量为
(2a，2b，1)

所以，切平面方程为
2a(x-a)+2b(y-b)+(z-2+a²+b²)=0
即：2ax+2by+z=2+a²+b²

令y=z=0，解得
x=(2+a²+b²)/(2a)

令x=z=0，解得
y=(2+a²+b²)/(2b)

令x=y=0，解得
z=2+a²+b²

所以，切平面与三个坐标轴的交点分别为
((2+a²+b²)/(2a)，0，0)
(0，(2+a²+b²)/(2b)，0)
(0，0，2+a²+b²)

所以，四面体的体积为
V=1/3×1/2×(2+a²+b²)/(2a)
×(2+a²+b²)/(2b)×(2+a²+b²)
=1/24×(2+a²+b²)³/(ab)

令g(a，b)=(2+a²+b²)³/(ab)
g'a=(2+a²+b²)²(5a²-2-b²)/(a²b)
g'b=(2+a²+b²)²(5b²-2-a²)/(a²b)

令g'a=g'b=0
解得，a=b=√2/2

∴切点为(√2/2，√2/2，1)

追答

g'b的分母打错了，
更正一下