Question

计算曲面积分 ∫∫(x^2+y^2+z^2）^-0.5ds，其中 ∑是球面x^2+y^2+z^2=a^2(z>0）

Answer 1

∫∫(x^2+y^2+z^2）^-0.5ds
=∫∫ads
=a*(2πa²)
=2πa³

曲面积分可以用曲面方程化简被积函数；被积函数为1，积分结果为曲面面积；球表面积为4πa²，本题由于z>0，因此只是半个球，所以是2πa²

追问

曲面积分不可以直接带入曲面方程吧

追答

可以。
二重积分和三重积分不行，曲线曲面都可以。

追问

是这样啊，谢谢！您能不能帮我解答一下这道题？
常数项级数∑(n=1-∞)(n*2^n)^-1的和为？

追答

∑(n=1→∞) 1/(n*2^n)
先计算
s(x)=∑(n=1→∞) x^n/(n*2^n)
=∑(n=1→∞) (1/n)(x/2)^n
求导：s'(x)=(1/2)∑(n=1→∞) (x/2)^(n-1)
=(1/2)∑(n=0→∞) (x/2)^n
=(1/2)[1/(1-(x/2))]
=1/(2-x)
两边从0到x积分得：
s(x)-s(0)=-ln(2-x)+ln2
由于s(0)=0
因此s(x)=-ln(2-x)+ln2
将x=1代入得：s(1)=ln2
因此所求结果为ln2