Question

选修2-2数学

已知函数f(x)=ax(a∈R),g(x)=lnx-1
(1)若函数h(x)=g(x)+1-x/2f(x)-2x存在单调递减区间，求a的取值范围；
(2)当a>0时，试讨论这两个函数图象的交点个数。

Answer 1

(1)a>-1
(2)当a>1/e^2时，无交点，
当a=1/e^2时，有唯一交点，
当0<a<1/e^2时，有两个交点，
需要详解可以追问

追问

（1）问我是这样算的h'(x)=1/x-ax-2(x>0)
若存在x>0使1/x-ax-20
①a≥0存在x使以上不等式存在
②a0,x1x2>0,x1+x2>0
解得空集，综上
a∈[0,+∞)
(2)即等效于求k(x)=ax-lnx+1的零根个数
又k'(x)=a-1/x(x>0)
得k(x)在x=1/a时取最小值，得k(x)min=2+lna
当2+lna=0时，即a=1/e^2时有一个交点
当2+lna>0时,即a>1/e^2时交点
当2+lna<0时，即0<a<1/e^2时有两个交点

求纠正

Answer 2

(1)h(x)=lnx-(ax^2)/2-2x （x>0）
h'(x)=1/x-ax-2有小于0的部分
即h'(x)最小值小于0
a存在：a>1/(x^2)-2/x=(1/x-1)^2-1
a>-1
(2)令F(x)=ax-lnx+1
F'(x)=a-1/x
F'(1/a)=0
F（x）在（0，1/a）递减，(1/a,无穷大)递增
F(x)最小值为F(1/a)=1+lna+1=2+lna
（1）a>e^-2,F(1/a)>0,F(x)大于0恒成立
（2）a=e^-2,F(1/a)=0,交点数为1
（3）0<a<e^-2,F(1/a)<0,交点数为2

Answer 3

0.0 狠深奥的样子