Question

在三角形ABC中,向量AB·向量AC=向量BA·BC。 (1) 求证 tanB=3tanA (2)已知cosC=根号5/5求A的值

Answer 1

题目搞错了吧？你再看看原题。
若AB*AC=BA*BC，
则|c|*|b|*cosA=|c|*|a|*cosB
∴|b|*cosA=|a|*cosB
∴|a|/|b|=cosA/cosB

又∵sinA/|a|=sinB/|b| （正弦定理）
∴|a|/|b|=sinA/sinB

∴cosA/cosB=sinA/sinB
∴cosAsinB=sinAcosB
∴sinAcosB-cosAsinB-=0
∴sin(A-B)=0
解得：A=B 、A+B=pi（根据三角形中两角和小于180度排除）

∴A=B，自然，tanB=3tanA 是根本无法成立的！
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cosC=sqrt5 /5
sinC=2sqrt5 /5
sin(A+B)=sin(pi-A-B)=sinC=2sqrt5 /5
∵A=B
∴sin2A=2sqrt5 /5
2sinAcosA=2sqrt5 /5
sinAcosA=sqrt5 /5
sin²Acos²A=1/5
sin²A(1-sin²A)=1/5
令x=sin²A
则x²-x+1/5=0
解得：
x1=1/2 + sqrt5 /10
x2=1/2 - sqrt5 /10

sinA=sqrt(x1) 或 sqrt(x2)
太复杂了，不想解了。

其实也可以根据cosC=sqrt5 /5 查表或计算器得出C角的大小，
再根据A=B=(180-C)/2计算A角大小。
计算器计算的结果：A=58.282525588538994675786096860227度

追问

真的是题目错了，是向量AB乘向量AC=3向量BA乘向量BC 问题没变。

追答

好吧，再重解一遍。
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若AB*AC=3BA*BC，
则|c|*|b|*cosA=3|c|*|a|*cosB
∴|b|*cosA=3|a|*cosB
∴|a|/|b|=cosA/3cosB

又∵sinA/|a|=sinB/|b| （正弦定理）
∴|a|/|b|=sinA/sinB

∴cosA/3cosB=sinA/sinB
∴sinA/cosA=sinB/3cosB
∴tanA=1/3tanB

∴tanB=3tanA

并且，若A角>90度，则tanA90度。
而三角形中任意两角不能同时大于90度，
所以tanA不能为负值。
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cosC=sqrt5 /5
sinC=2sqrt5 /5
tanC=sinC/cosC=2
tan(A+B)=tan(pi-C)=-tanC=-2
又∵tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)=4tanA/(1-3tan²A)
令tanA=x，
则有4x/(1-3x²)=-2
3x²-2x-1=0
解得x1=1,x2=-1/3

∴tanA=1，或tanA=-1/3（tanA为负值应排除）

∴A=45度