Question

求助：托勒密定理的证明

Answer 1

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托勒密定理及其应用
河北省晋州市数学论文研究协会 刘同林
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．
已知：圆内接四边形ABCD，
求证：AC•BD＝AB•CD＋AD•BC．
证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．

又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．

①＋②得 AC(BP＋DP)=AB•CD＋AD•BC．
即AC•BD=AB•CD＋AD•BC．
这就是著名的托勒密定理，在通用教材中习题的面目出现，不被重视．笔者认为，既然是定理就可作为推理论证的依据．有些问题若根据它来论证，显然格外简洁清新．兹分类说明如下，以供探究．
一、直接应用托勒密定理

例1 如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧 上任一点(不与B、C重合)，求证：PA=PB＋PC．
分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗．
若借助托勒密定理论证，则有PA•BC=PB•AC＋PC•AB，
∵AB=BC=AC．
∴PA=PB+PC．
二、完善图形 借助托勒密定理
例2 证明“勾股定理”：
在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2
证明：如图3，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．

由托勒密定理，有
AC•BD=AB•CD＋AD•BC． ①
又∵ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BD． ②
把②代人①，得AC2=AB2＋BC2．

例3 如图4，在△ABC中，∠A的平分 线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD•BC=BD(AB＋AC)．
证明：连结CD，依托勒密定理，有AD•BC＝AB•CD＋AC•BD．
∵∠1=∠2，∴ BD=CD．
故 AD•BC=AB•BD＋AC•BD=
BD(AB＋AC)．
三、利用“无形圆”借助托勒密定理
例4 等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积．

如图5，ABCD中，AB‖CD，AD=BC，
求证：BD2=BC2＋AB•CD．
证明：∵等腰梯形内接于圆，依托密定理，则有AC•BD=AD•BC＋AB•CD．
又∵ AD=BC，AC=BD，
∴BD2=BC2＋AB•CD．
四、构造图形 借助托勒密定理
例5 若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．
求证：ax＋by≤1．
证明：如图6，作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB，使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y．
由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的．
据托勒密定理，有AC•BD＋BC•AD=AB•CD．
∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1．
五、巧变原式 妙构图形，借助托勒密定理
例6 已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，
求证：∠A=2∠B．
分析：将a2=b(b＋c)变形为a•a=b•b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．
证明：如图 7，作△ABC的外接圆，以 A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA．
∵AD=BC，

∴∠ABD=∠BAC．
又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．

依托勒密定理，有BC•AD=AB•CD＋BD•AC． ①
而已知a2=b(b＋c)，即a•a=b•c＋b2． ②

∴∠BAC=2∠ABC．
六、巧变形 妙引线 借肋托勒密定理
例7 在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，

析证：将结论变形为AC•BC＋AB•BC=AB•AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形．
如图8，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD．
在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，有AC•BD＋BC•AD=AB•CD
易证AB=AD，CD=AC，∴AC•BC＋BC•AB=AB•AC，

Answer 2

hao la ya ha