线性代数第十七题
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设存在k1,k2,...，使k1y1+k2y2+...+k(k)yk=0。
由y(i)=Ax(i)，得k1Ax1+k2Ax2+...+k(k)Ax(k)=0即，A(k1x1+k2x2+...+k(k)x(k))=0，由于A为满秩阵，所以齐次方程只有零解，即k1x1+k2x2+...+k(k)x(k)=0是唯一解。
又x1,x2,...,xk线性无关，所以当且仅当k1=k2=...=k(k)=0时，k1x1+k2x2+...+k(k)x(k)=0
即k1y1+k2y2+...+k(k)yk=0成立，所以y1,y2,...,yk之间线性无关。
由y(i)=Ax(i)，得k1Ax1+k2Ax2+...+k(k)Ax(k)=0即，A(k1x1+k2x2+...+k(k)x(k))=0，由于A为满秩阵，所以齐次方程只有零解，即k1x1+k2x2+...+k(k)x(k)=0是唯一解。
又x1,x2,...,xk线性无关，所以当且仅当k1=k2=...=k(k)=0时，k1x1+k2x2+...+k(k)x(k)=0
即k1y1+k2y2+...+k(k)yk=0成立，所以y1,y2,...,yk之间线性无关。
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