Question

什么是调和级数？其敛散性如何？如何证明？（高等数学）

Answer 1

调和级数 an=1/n；发散。

证明方法如下：

一、即当p≤1p≤1时，有1np≥1n1np≥1n，调和级数是发散的，按照比较审敛法： 

若vnvn是发散的，在n>N,总有un≥vnun≥vn,则unun也是发散的。 

调和级数1n1n是发散的，那么p级数也是发散的。

二、当p>1时，证明的思路大概就是对于每一个整数，取一个邻域区间，使邻域区间间x∈[k,k−1]x∈[k,k−1]使得某个函数在[k,k−1][k,k−1]邻域区间内的积分小于1xp1xp在这个邻域区间的积分。

然后目的当然是通过积分求指数原函数解决问题。这个证明的比较函数取的很巧妙，令k1≤x≤kk1≤x≤k,那么1kp≤1xp1kp≤1xp。

利用比较审敛法的感觉，应该找一个比p级数的一般式大的收敛数列，证明p级数收敛。这个就有点反套路了。 

1kp=∫kk−11kpdx(这里是对x积分而不是k)≤∫kk−11xp1kp=∫k−1k1kpdx(这里是对x积分而不是k)≤∫k−1k1xp。

其中（k=2,3....）（k=2,3....）。

讨论级数和,用k的形式代表p级数，并且用一个大于它的函数来求得极限。 

sn=1+∑k=2n1kp（p级数）≤1+∑k=2n∫k−1k1xp=1+∫n11xpdxsn=1+∑k=2n1kp（p级数）≤1+∑k=2n∫kk−11xp=1+∫1n1xpdx。

这里利用积分区间的可加性: 

∫D1f(x)dx+∫D2f(x)dx=∫D1+D2f(x)dx。

1、级数

将数列 unun 的项 u1,u2,…,un,…u1,u2,…,un,…，依次用加号连接起来的函数。

数项级数的简称。如： u1+u2+…+un+…u1+u2+…+un+… ，简写为 ∑un∑un ， unun 称为级数的通项，记 Sn=∑unSn=∑un 称之为级数的部分和。

如果当 n→∞n→∞ 时 ，数列有极限，则说级数收敛，并以 SS 为其和，记为 ∑un=S∑un=S ；否则就说级数发散。

2、简单证明

基本手段-放缩

级数 n+1−−−−−√−n−√n+1−n 的敛散性：

∑n+1−−−−−√−n−−√=∑1n+1−−−−−√+n−−√>∑12n+1−−−−−√>∑12(n+1)，因此其是发散的。

Answer 2

教科书式解答

Answer 3

调和级数 an=1/n；发散，证明好证，自己练习，不会再问