Question

已知函数f(x)=mx/2+(m-2)/2x（m＞0） （1）若f(x)≥lnx+m-1在一道正无穷上恒成立，求m的取值范围

（2）2ln2+3ln3+……+nlnn≤(2n^3+3n^2-5n)/12 (n∈N+）
急呀，高手速答，打得好的我加分

Answer 1

（1）答案：m≥1，
解：设F(x)=mx/2+(m-2)/(2x)-lnx-m+1，则F(1)=0，
因为F'(x)=m/2-[(m-2)/2](1/x²)-1/x =（mx²-m+2-2x）/(2x²)
=（mx²-2x-m+2）/(2x²)=(mx+m-2)(x-1）/(2x²)=m[x+(m-2)/m](x-1）/(2x²)，
令F'(x)=0，则x=1或x=-(m-2)/m=-1+2/m，
其中x=1不在开区间（1，+∞）上，
假设x=-(m-2)/m 在开区间（1，+∞）上时，
若1<x<-(m-2)/m，F'(x)<0，F(x)递减，
若x>-(m-2)/m，F'(x)>0，F(x)递增，
故F(x)在x=-(m-2)/m 处有最小值，此时F(x)<F(1)=0，与F(x)≥0矛盾，
故x=-(m-2)/m 不在开区间（1，+∞）上，故-(m-2)/m≤1，
又m＞0，解得m≥1。

Answer 2

（2）证明2ln2+3ln3+……+nlnn≤(2n³+3n²-5n)/12 (n∈N+）
用数学归纳法。
解：当n=1时，左边=1 ln1=0，右边=（2+3-5）/12=0，原不等式成立。
假设当n=k (k∈N+）时，原不等式成立，
即2ln2+3ln3+……+k lnk≤(2k³+3k²-5k)/12=k(k-1)(2k+5)/12 (k∈N+），
那么当n=k+1 (k∈N+）时，
即要证明2ln2+3ln3+……+klnk+(k+1)lnk ≤k(k+1)(2k+7)/12
=(2k³+9k²+7k)/12=(2k³+3k²-5k)/12+（6k²+12k）/12
=(2k³+3k²-5k)/12+（k²+2k）/2，
由2ln2+3ln3+……+k lnk≤(2k³+3k²-5k)/12(k∈N+），
故只要证明(k+1) lnk≤（k²+2k）/2，

移项，得（k²+2k）/2-(k+1) ln(k+1)≥0
令Y=（k²+2k）/2-(k+1) ln(k+1)
Y′=(2k+2)/2-[ln(k+1)+(k+1)/(k+1)=k+1-ln(k+1)-1=k-lnk
=ln(e^K)- lnk =ln[(e^k)/(k+1)]
在k≥2时，令g(k)= e^k-（k+1），
故g′(k)= e^k-1= e^k- e^0>0，故g(k)递增，
故g(k)= e^k-（k+1）≥g(2)= e^2-3>0，
故e^k＞k+1＞0 ，故Y′=In[(e^k)/(k+1)]>0，
也就是Y=（k²+2k）/2-(k+1) ln(k+1)在k≥2时递增
Y最小=Y（k=2)=4-(k+1) ln(k+1)=ln[（e^4)/27],
由e^4>2.7^4>27，故Y最小=ln[（e^4)/27]＞0,
故Y=（k²+2k）/2-(k+1) ln(k+1)在k≥2时，Y＞0恒成立
即(k+1) ln(k+1)≤（k²+2k）/2，

由(k+1) ln(k+1)≤（k²+2k）/2得证，
故2ln2+3ln3+……+nlnn≤(2n³+3n²-5n)/12 (n∈N+）成立。

Answer 3

（1）答案：m≥2
解答：设F(x)=mx/2+(m-2)/2x-lnx-m+1，则F(1)=0
若能证F'(x)≥0，则F(x)在定义域x>o内是单调增加函数，
当x≥1时，F(x))≥F(1)=0恒成立，即f(x)≥lnx+m-1在一到正无穷上恒成立。
因为F'(x)=m/2-[(m-2)/2](1/x^2)-1/x ，由x≥1，有：(1/x^2)≤1，(1/x)≤1，
所以，当m≥2时，m/2≥[(m-2)/2](1/x^2)+1/x ，即F'(x)≥0成立，（1）的结论也成立。

追问

你做错了，应该是大于等于1