Question

像拉格朗日定理之类的，为啥都是闭区间上连续，而开区间上可导呢？

Answer 1

拉格朗日中值定理是一个非常重要的微积分定理，它表明在闭区间上连续、在开区间上可导的函数中一定存在一个点，这个点的斜率等于这段区间上的平均斜率。

这里闭区间上连续的条件是确保函数在整个区间上有定义并无间断，而开区间上可导的条件是为了确保函数在区间内无边界点的间断。

闭区间上连续的条件是必需的，因为拉格朗日中值定理涉及到函数在整个闭区间上的表现。如果函数在闭区间上不连续，就无法保证定理的适用性。闭区间上的连续性确保了函数无间断空隙，使得定理可以成立。

另一方面，只要函数在开区间上可导，那么在开区间内就保证了函数的导数存在。这是因为导数的定义需要计算函数的极限，而开区间的导数定义不受边界点的影响。

所以，闭区间上的连续性和开区间上的可导性是拉格朗日中值定理的前提条件之一，这些条件保证了定理的适用性和结果的成立。

Answer 2

[CLASSIC] 拉格朗日中值定理和闭区间上的连续性以及开区间上的可导性之间的关系可以通过对定理的条件和结论进行分析来理解。

拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数在闭区间上连续且在开区间上可导的情况下的性质。具体来说，拉格朗日中值定理表明，如果函数f在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在开区间(a, b)内存在一个点c，使得f'(c)等于函数在闭区间[a, b]上的平均斜率。

闭区间上的连续性是拉格朗日中值定理的一个重要条件。闭区间上的连续性意味着函数在整个区间上没有跳跃或间断，并且可以保证函数在该区间内存在最大值和最小值。这种连续性的条件使得我们可以应用介值定理，从而得出存在某个点满足定理的结论。

另一方面，开区间上的可导性是拉格朗日中值定理的另一个条件。开区间上的可导性意味着函数在该区间内的导数存在，即函数在该区间内的变化率是连续的。这个条件是为了确保我们可以计算函数在开区间内的斜率，从而得到中值定理的结论。

综上所述，拉格朗日中值定理中的闭区间上的连续性和开区间上的可导性是为了满足定理的条件，并从中推导出定理的结论。这个定理的条件和结论是相互关联的，缺一不可。

Answer 3

因为这几个中值定理研究的都是那种可以画图像的那种函数（函数点表示位置，导数表示图像的方向），中值定理好像研究的就是函数某点或者函数的某条斜率代替原函数的定理，所以需要闭区间连续开区间可导。我猜的如果有错请见谅。

Answer 4

说原因是因为左端点左导数不存在，应该不是很正确，因为同济六版83页说了若开区间可导，左端点右导数存在右端点同理，那么就可以说是闭区间可导，此处例外应该是y=(1-x^2)^0.5,也就是坐标原点画个半径1的圆，在-1的右导数不存在，1同理，但是可以用中值定理。

Answer 5

如果将条件更换为“在闭区间上可导”，则会缩小定理的适用范围