Question

利用柯西准则判别下列级数收敛性：1+1/2-1/3+1/4+1/5-1/6……

这是华中科技大学出版的第三版工科数学分析下册的习题10.1B组的第二题，如果有答案的话可以照抄···
答案是发散。

Answer 1

解答：
是这样的：对于任意的n，考察上述级数第3n+1项到第6n项的和S，有：
S=1/(3n+1) + 1/(3n+2) - 1/(3n+3) +...+ 1/(6n-2) + 1/(6n-1) - 1/6n
> 1/(3n+3) +1/(3n+3) - 1/(3n+3) +...+ 1/6n +1/6n -1/6n
= 1/(3n+3) +1/(3n+6) +...+ 1/6n
=1/3 * (1/(n+1) + 1/(n+2) +...+ 1/2n)
>1/3* (1/2n +1/2n +...+ 1/2n)
= 1/3 * n*1/2n
=1/6
也就是说，根据柯西准则，对于给定的正数ε<1/6，无论n取多大，我们都能找到p=3n，使得上述级数第3n+1项到第3n+p项的和S>1/6>ε，因此级数发散。