Question

设a，b为实数，试求a²＋ab＋b²－a－2b的最小值。

p127,24《数学竞赛培优测试》

Answer 1

也可以这样
y=a^2+ab+b^2-a-2b
=a^2+a(b-1)+(b^2-2b)
关于a的2次方程a^2+a(b-1)+(b^2-2b-y)=0有实根
判别式(b-1)^2-4(b^2-2b-y)>=0
-3b^2+6b+4y+1>=0
(4y+4)-3(b-1)^2>=0
4y+4>=3(b-1)^2
(b-1)^2>=0
4y+4>=0
y>=-1
最小值-1

Answer 2

解：
换元，可设
a=x+y,
b=x-y.
原式可化为
原式
=(x+y)²+(x+y)(x-y)+(x-y)²-(x+y)-2(x-y)
=3x²+y²-3x+y
=3[x-(1/2)]²+[y+(1/2)]²-1≥-1
∴最小值=-1

追问

3x²+y²-3x+y
=3[x-(1/2)]²+[y+(1/2)]²-1≥-1
这一步骤的思路是什么，你觉得本题的换元主要是为这一步服务的吗
那本题的突破口是什么

Answer 3

式子=（a-0.5）^2+(b-1)^2+ab-1.25=0.25