Question

初等变换法把二次型化为标准形f(x1,x2,x3) = x1^2+5x2^2-4x3^2+2x1x2-4x1x3 Thank you!

初等变换法
1 1 -2
1 5 0
-2 0 -4
1 0 0
0 1 0
0 0 1

r2-r1, r3+2r1
1 0 0
0 4 2
0 2 -8(A在这一步进行的是行变换）
1 -1 2
0 1 0
0 0 1（请问为什么E在这里却是进行 列变换呢？上面A进行的是 行变换啊，A进行 行变换 那么E就相应的进行 列变换 么？）

r3-(1/2)r2
1 0 0
0 4 0
0 0 -9
1 -1 5/2
0 1 -1/2
0 0 1

P =
1 -1 5/2
0 1 -1/2
0 0 1

P'AP = diag(1,4,-9)

Answer 1

假定Q是定义在实数向量空间上的二次形式。它被称为是正定的（或者负定的），如果Q(v)>0 (或者Q(v)<0)对于所有向量。如果我们放松严格不等于为≥或≤，则形式Q被称为半定的。如果Q(v)<0对于某个v而且Q(v)>0对于另一个v，则Q被称为不定的。设A是如上那样关联于Q的实数对称矩阵，所以对于任何列向量v。

二次型（quadratic form）：n个变量的二次多项式称为二次型，即在一个多项式中，未知数的个数为任意多个，但每一项的次数都为2的多项式。线性代数的重要内容之一，它起源于几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题的研究。二次型理论与域的特征有关。

二次型的系统研究是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程是标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那时并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。

西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801年，高斯在《算术研究》中引进了二次型的正定、负定、半正定和半负定等术语。

Answer 2

根据矩阵的合同C'AC=B，可逆矩阵C是一列初等矩阵的乘积，所以对A进行同样的行变换与列变换，即可化A为B，把使用的列变换对应的矩阵记录下来，即为C