Question

数列极限问题求解

数列极限问题求解如图 绿色方框内的问题 请详细过程

Answer 1

首先我不加证明地给出3个结论:

1. 如果{a2k-1}和{a2k}收敛于同一极限A,那么{an}收敛于A.

2. 如果数列收敛于A,那么它的任一子列也收敛于A.

3. 如果一个数列收敛,那么它的极限是唯一的.
   

其次,因为题目条件是{a3k},{a2k-1}和{a2k}都收敛.假设{a3k}这个数列收敛于A,如果能推出{a2k-1}和{a2k}也收敛于A,那么答案就出来了.

考虑数列{a6k},这个数列既是{a2k}的子列,也是{a3k}的子列.现在由于{a3k}收敛于A,根据结论2,{a6k}收敛于A.再假设{a2k}收敛于B,根据结论2,{a6k}收敛于B.再根据结论3,A=B,即{a2k}收敛于A.

再考虑数列{a6k-3},它是{a2k-1}和{a3k}的子列,同理得{a2k-1}也收敛于A.

所以根据结论1,{an}收敛.