Question

求不定积分sin(x^2)的原函数

Answer 1

给出sinx = Σ(k = 0 to ∞) [(- 1)^k * x^(1 + 2k)]/(1 + 2k)!
所以sin(x²) = Σ(k = 0 to ∞) [(- 1)^k * (x²)^(1 + 2k)]/(1 + 2k)!
= Σ(k = 0 to ∞) [(- 1)^k * x^(4k + 2)]/(1 + 2k)!
∫ sin(x²) dx
= ∫ Σ(k = 0 to ∞) [(- 1)^k * x^(4k + 2)]/(1 + 2k)! dx
= Σ(k = 0 to ∞) [(- 1)^k]/(1 + 2k)! * ∫ x^(4k + 2) dx
= Σ(k = 0 to ∞) [(- 1)^k]/(1 + 2k)! * x^(4k + 2 + 1)/(4k + 2 + 1) + C
= Σ(k = 0 to ∞) [(- 1)^k * x^(4k + 3)]/[(4k + 3)(1 + 2k)!] + C

Answer 2

这个是超越积分，属于菲涅尔积分的一类，积不出初等函数。