Question

设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,证明tr(AB)=tr(BA)

Answer 1

矩阵的迹只是主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和，可以设为a（ii）其中i=1,2，...，m/n。主要利用的是C = AB，cii 等于A 的第i 行乘以B 的第i 列，也等
于B 的第i 列乘以A 的第i 行。AB和BA的各自设出元素如百度作业帮所示：设A＝﹙aij﹚ B＝﹙bij﹚
tr﹙AB﹚＝∑[1≤i≤n]∑[1≤j≤n]aij×bji
tr﹙BA﹚＝∑[1≤i≤n]∑[1≤j≤n]bij×aji [把字母i,j对换]
＝∑[1≤j≤n]∑[1≤i≤n]bji×aij [bji×aij＝aij×bji]
＝∑[1≤j≤n]∑[1≤i≤n]aij×bji [改变∑次序.即n²个数的和,先按列加与先按行加是一样的]
＝∑[1≤i≤n]∑[1≤j≤n]aij×bji＝tr﹙AB﹚

Answer 2

按定义展开写一下就可以了