Question

已知an=n*2^n，求其前n项和sn

如题

Answer 1

an=n·2^n
a(n-1)=(n-1)·2^n
Sn =1·2^1+2·2^2+3·2^3+…+n·2^n ①
2Sn = 1·2^2+2·2^3+…+(n-1)·2^n+n·2^(n+1) ②

①-②得：
-Sn=1·2^1+1·2^2+1·2^3+…+1·2^n-n·2^(n+1)
=2+2²+2³+…+2ⁿ-n·2^(n+1)
=2(1-2ⁿ)/(1-2)-n·2^(n+1)
=2^(n+1)-2-n·2^(n+1)
=(1-n)2^(n+1)-2
∴Sn=(n-1)2^(n+1)+2

Answer 2

a1=2
a2=8
。
。
。
a（n-1）=（n-1)*2^(n-1)
an=n*2^n
Sn=a1+a2+……+an=2+8+……+（n-1)*2^(n-1)+n*2^n ①
2sn=4+16+……+（n-1）*2^n+n*2^（n+1） ②
②-①得
Sn=n*2^(n+1)-a1-(2^2+2^3+……+2^n）
=n*2^(n+1)-2^(n+1)
=(n-1)*2^(n+1)+2