Question

已知向量组α1，α2，α3线性无关，证明

Answer 1

用线性相关的定义证即可。
第（1）题
显然存在不全为零的系数1,-1,1使得
1(a1+a2)-(a2+a3)+1(a3-a1)=0
因此这3个向量线性相关

第（2）题
设任意系数k1,k2,k3使得
k1(a1+2a2)+k2(2a2+3a3)+k3(3a3+a1)=0
即(k1+k3)a1+(2k1+2k2)a2+(3k2+3k3)a3=0
由于a1,a2,a3线性无关
则k1+k3=2k1+2k2=3k2+3k3=0
解得
k1=k2=k3=0

因此这3个向量线性无关

Answer 2

没接触过高等数学

Answer 3

证明：设k1(α1 + 2α2) + k2(α2 + 2α3) + k3(α3 + 2α1)=0，其中：k1，k2，k3为常数，得： (k1 + 2k3)α1 + (2k1 + k2)α2 + (2k2 + k3)α3=0，且α1，α2，α3线性无关→ k1 + 2k3=0 2k1 + k2=0 2k2 + k3=0 解得：k1=k2=k3=0 故：向量组α1 + 2α2，α2 + 2α3，α3 + 2α1线性无关。