Question

如图，△ABC和△ADC都是每边长相等的等边三角形，点E，F同时分别从点B，A出发，各自沿BA，AD方向运动到点A

如图，△ABC和△ADC都是每边长相等的等边三角形，点E，F同时分别从点B，A出发，各自沿BA，AD方向运动到点A，D停止，运动的速度相同，连接EC，FC．
（1）在点E，F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；
（2）在点E，F运动过程中，以点A，E，C，F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由；
（3）连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由；
（4）若点E，F在射线BA，射线AD上继续运动下去；（2）小题中的结论还成立吗？（直接写出结论，不必说明理由）
注意第四小题是问第二小题中的结论，不是第一小题！

Answer 1

(1)不变化，因为任何时刻BE和AF相等，∠B=∠CAF,BC=AC,所以△BEC与△ACF全等，所以∠ECB=∠ACF,所以∠ECF的大小不变化。
（2）不变化，因为△BEC与△ACF全等，所以△BEC与△ACF面积相等。又因为以点A，E，C，F为顶点的四边形的面积等于四边形ABCF的面积减去△BEC的面积，就等于△ABC的面积。
（3）相等的角有∠FCD,∠AFE。因为（1）中∠B=∠CAF，所以∠FCD等于∠ACE。
在△EBC中∠B=60c，所以∠BEC+∠ECB=120c。
在△EFC中,由（1）得∠ECB=∠ACF，所以∠ECF=60c，所以∠FEC+∠EFC=120c,由（1）得BC=AC,所以∠FEC=∠EFC=60c，所以∠BEC+∠AEC=120c，所以∠AEF=∠ECB,因为∠EAF=120c，所以∠AEF+∠AFE=60c。又因为∠ECB+∠ECA=60c，∠AEF=∠ECB,所以,∠AFE=∠ACE。
（4）变化了

Answer 2

解：（1）∠ECF不变为60°．（1分）
理由如下：
∵△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，
∴BC=AC=CD，∠B=∠DAC=60°，
又∵E、F两点运动时间、速度相等，
∴BE=AF，
∴△BCE≌△ACF，
∴∠ECB=∠FCA．（4分）
所以∠ECF=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠BCA=60°；（6分）
（2）不变化．理由如下：
∵四边形AECF的面积=△AFC的面积+△AEC的面积，（7分）
又∵△BCE≌△ACF，
∴△AEC的面积+△BEC的面积=△ABC的面积；（8分）

（3）证明：∵∠FCD+∠DFC=120°，∠AFE+∠DFC=120°，
∴∠AFE=∠FCD，
所以∠ACE=∠FCD=∠AFE．（10分）

Answer 3

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