Question

计算曲面积分∫∫(a^2+x^2+y^2)^(-1)dS 范围为球面x^2+y^2+z^2=a^2的上半部分。

Answer 1

z=根号(a^2－x^2－y^2)，D： x^2+y^2<=a^2，
az/ax=－x/z，az/ay=－y/z，
原积分
＝二重积分_D 1/(a^2+x^2+y^2)* 根号(1+x^2/z^2+y^2/z^2) dxdy
极坐标变换x＝rcosb，y＝rsinb，0<=b<=2pi，0<=r<=a，
＝积分（从0到2pi）db 积分（从0到a）ar/【(a^2+r^2)*根号(a^2－r^2)】dr
变量替换r＝acost，0<=t<=pi/2
＝2pi*积分（从0到pi/2）costdt/(1+cos^2t)
变量替换sint＝x，costdt＝dx，1+cos^2t=2－x^2
＝2pi*积分（从0到1）dx/(2－x^2)
＝2pi/2根号(2) ln【(根号(2)+x)/(根号(2)－x)】|上限1下限0
＝根号(2)*pi*ln(1+根号(2))。