Question

如图,过点C(1,2)分别作x轴、y轴的平行线,交直线y=-x+6于A、B两点,若反比例函数y=k

如图，过点C（1,2）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A、B两点，若反比例函数y＝k／x的图像与三角形ABC有公共点，则k的取值范围。

请解释地清楚些，谢谢！！！

Answer 1

解：由已知条件，可得：A(4,2)，B(1,5)，AC=BC=3
作CH垂直AB于点H，
则：因为AC=BC
所以：可得点H为线段AB的中点，
所以，可得：H(2.5,3.5)
把C(1,2)代入，可得k=2
把H(2.5,3.5)代入，可得k=35/4
要保证：若反比例函数y＝k／x的图像与三角形ABC有公共点，
则：2≤k≤35/4

追问

亲，谢谢，但你做错了，我当时也是这么做的。

交点不是你所求的H，因为C到x轴，y轴的距离不等。
我知道标准答案是2≤k≤9

但不知为什么。

追答

三角形ABC是等腰直角三角形。
注意：k的最大值——不是这样计算的。
方法：联立方程组，得：y=-x+6
y=k/x
消去y，得：x^2-6x+k=0
由⊿=(-6)^2-4*1*k=0
解得：k=9
所以：2≤k≤9
抱歉了。

Answer 2

第二个方法也是错的
因为这个切点可能是在A的左边，也可能是在B点的右边
在网上找到这个方法，但因该超过九年级学生的能力啦
解：∵点C（1，2），BC∥y轴，AC∥x轴，
∴当x=1时，y=-1+6=5，
当y=2时，-x+6=2，解得x=4，
∴点A、B的坐标分别为A（4，2），B（1，5），
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k=1×2=2最小，
设与线段AB相交于点（x，-x+6）时k值最大，
则k=x（-x+6）=-x2+6x=-（x-3）2+9，
∵1≤x≤4，
∴当x=3时，k值最大，
此时交点坐标为（3，3），
因此，k的取值范围是2≤k≤9

Answer 3

第二个方法也是错的
因为这个切点可能是在A的左边，也可能是在B点的右边，只能判断出小于9或等于9，却不
第一个还能判断出是在于8，
在网上找到这个方法，但因该超过九年级学生的能力啦
解：∵点C（1，2），BC∥y轴，AC∥x轴，
∴当x=1时，y=-1+6=5，
当y=2时，-x+6=2，解得x=4，
∴点A、B的坐标分别为A（4，2），B（1，5），
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k=1×2=2最小，
设与线段AB相交于点（x，-x+6）时k值最大，
则k=x（-x+6）=-x2+6x=-（x-3）2+9，
∵1≤x≤4，
∴当x=3时，k值最大，
此时交点坐标为（3，3），
因此，k的取值范围是2≤k≤9

Answer 4

第二个方法也是错的
因为这个切点可能是在A的左边，也可能是在B点的右边
在网上找到这个方法，但因该超过九年级学生的能力啦
解：∵点C（1，2），BC∥y轴，AC∥x轴，
∴当x=1时，y=-1+6=5，
当y=2时，-x+6=2，解得x=4，
∴点A、B的坐标分别为A（4，2），B（1，5），
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k=1×2=2最小，
设与线段AB相交于点（x，-x+6）时k值最大，
则k=x（-x+6）=-x2+6x=-（x-3）2+9，
∵1≤x≤4，
∴当x=3时，k值最大，
此时交点坐标为（3，3），
因此，k的取值范围是2≤k≤9