Question

矩形ABCD中，AB=4，AD=5，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AMNP

如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=5，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AMNP，直线MN分别与边BC、CD交于点E、F.（1）判断BE与ME的数量关系，并加以证明；（2）当△CEF是等腰三角形时，求线段BE的长；（3）设x=BE，y=CF·（AB2-BE2），试求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值.

Answer 1

1）BE=ME。证明如下：
在三角形ABE和AME中，AB=AM，AE=AE，∠ABE=∠AME=90°，
所以 Rt△ABE≌Rt△AME ，
则 BE=ME 。
2）因为 ∠C=90° ，因此若三角形CEF为等腰三角形，则必有 CE=CF ，
所以若过C作CP丄EF，可知CP平分∠C，
因为 AM丄EF ，因此由AM//CP得AM平分∠BAD ，
又因为AE平分∠BAM ，则∠BAE=90°/4=22.5° ，
所以 BE=AB*tan∠BAE=4*tan22.5°=4(√2-1) 。
3）因为 BE=ME=x ，MN=BC=5 ，
所以