Question

设η0是非齐次线性方程组AX=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组AX=0的一个基础解系，试证明：

⑴η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是AX=b的解
⑵η0、η1、η2线性无关

Answer 1

(1) 直接验证即可
Aη1=A(η0+ξ1) = Aη0+Aξ1 = b + 0 = b

(2) 设 k1η0+k2η1+k3η2=0
则 (k1+k2+k3)η0+k2ξ1+k3ξ2 = 0
等式两边左乘A得 (k1+k2+k3)b + 0 + 0 = 0
由b≠0得 k1+k2+k3=0
所以 k2ξ1+k3ξ2 = 0.
再由ξ1，ξ2线性无关得 k2=k3=0.
所以 k1=k2=k3=0
所以 η0、η1、η2线性无关

Answer 2

用反证法：设η0、η1、η2线性相关，则存在一组不全为0的数：k1,k2使得η0=k1η1+k2η2.等式两边同乘A，有Aη0=k1Aη1+k2Aη2。Aη0=k1Aη1+k2Aη2=0与Aη0=b矛盾所以线性无关。