Question

若曲线f(x)=ax^3+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是什么

Answer 1

f'(x)=3ax²+1/x=(3ax³+1)/x
依题意得，存在x使得f'(x)=0，即3ax³+1=0
令g(x)=3ax³+1 (x>0)
当a≥0时，g(x)=3ax³+1在x>0时的最小值为1，不符合要求；
当a<0时，g(x)=3ax³+1在x>0上单调递减，最大值为1，则必然存在一个x0使得f(x0)=0
所以，a<0，即实数a的取值范围是(-∞,0)

Answer 2

曲线的斜率是 f'(x)=3ax²+1/x
令f'(x)=0, 则3ax²+1/x=0 (x≠0)
就是 3ax³+1=0, a=-1/3x³ 因为原式中x>0
所以有 a<0

Answer 3

f(x) =ax^3+lnx
f(x) is defined for x>0

f'(x) = 3ax^2 + 1/x = 0
3ax^3+1 =0
x^3 = -1/(3a)
a的取值范围 = a<0