Question

（1）m为何值时，f（x）=x²+2mx+3m+4①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比-1大；

（2）若函数f（x）=|4x-x²|+a有四个零点，求实数a的取值范围

Answer 1

第一个问题：
∵f（x）＝x^2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点，∴方程x^2＋2mx＋3m＋4＝0有重根，
∴x^2＋2mx＋3m＋4＝0的判别式＝4m^2－4（3m＋4）＝0，∴m^2－3m－4＝0，
∴（m－4）（m＋1）＝0，∴m＝4，或m＝－1。
∴当m的值为4，或－1时，f（x）＝x^2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点。

第二个问题：
∵f（x）＝x^2＋2mx＋3m＋4有两个零点，∴方程x^2＋2mx＋3m＋4＝0有两不等实数根，
∴x^2＋2mx＋3m＋4＝0的判别式＝4m^2－4（3m＋4）＞0，∴m^2－3m－4＞0，
∴（m－4）（m＋1）＞0，∴m＞4，或m＜－1。
∴当m的值为（－∞，－1）∪（4，＋∞）时，f（x）＝x^2＋2mx＋3m＋4有两个零点。

∵f（x）＝x^2＋2mx＋3m＋4是一条开口向上的抛物线，
∴要使抛物线的两个零点都大于－1，则需要f（－1）＞0，∴1－2m＋3m＋4＞0，∴m＞－5。
∴满足条件的m的取值范围是（－5，－1）∪（4。＋∞）。

第三个问题：
要使f（x）＝｜4x－x^2｜＋a有四个零点，就需要：
f（x）＝－x^2＋4x＋a和f（x）＝x^2－4x＋a都有两个零点。
∴方程－x^2＋4x＋a＝0、x^2－4x＋a＝0都有两不等实数根，∴它们的判别式都大于0，
∴16＋4a＞0、16－4a＞0，∴4＋a＞0、4－a＞0，∴a＞－4、a＜4，∴－4＜a＜4。
∴满足条件的a的取值范围是（－4，4）。