Question

问一道初二几何题，数学高手进！！！

有边才为4的正方形ABCD，将一把三角尺的直角顶点P放在正方形的对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q。（1）如图1，当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的数量关系？证明你的结论。（2）如图2，当点Q在DC的延长线上时，线段PQ与线段PB之间是否有(1)中的数量关系？证明你的结论。（3）如图3，当点Q在DC的延长线上时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出相应的AP的长。

Answer 1

证明：(1)连BQ,因∠BCQ与∠BPQ互补，PBCQ四点共圆

∠PQB=∠PCB=45° 故PB=PQ.或连PD，先证△PCB≅△PCD

(SAS)得PB=PD  ∠PBC=∠PDC    因为∠PBC与∠PQC互补(用四边形内角和等于360度)，

∠PQD和∠PQC互补(平角等于180度)

得∠PQD=∠PBC=∠PDQ得PD=PQ=PB

(2)由余弦定理得：PB=√((1^2)+(x^2)-2×1×x×(√(2)/2))=√((x^2)-√(2)x+1)

BQ=√(2)PB=√(2)×√((x^2)-√(2)x+1)=√(2((x^2)-√(2)x+1))

CQ=√((BQ^2)-(BC^2))=√(((√(2)X-1)^2))=1-√(2)X(X≤√(2)/2)

∴S△PBQ=(PB^2)/2=((x^2)-√(2)x+1)/2

∴S△BCQ=CQ×BC/2=(1-√(2)X)/2

S四边形PBCQ=S△PBQ+S△BCQ

∴y=((x-√(2))^2)/2(0≤x≤√(2)/2)

当Q在DC延长线上时：延长BP交CD于G,

△PAB∼△PCG

AB/GC=AP/PC   1/GC=X/(√(2)-X)⇒GC=(√(2)-X)/X⇒(GC^2)=([(√(2)-X)/X]^2)

(BG^2)=(1^2)+([(√(2)-X)/X]^2)

∴S△GPC=(1/2)×(√(2)-X)×[(√(2)-X)/X]×(√(2)/2)=[((√(2)-X)^2)√(2)]/4x

S△GQB/S△GPC=(GC^2)/(BG^2)={(1^2)+([(√(2)-X)/X]^2)}/([(√(2)-X)/X]^2)

∴S△GQB=[√(2)((x^2)-√(2)x+1)]/2x

∴S四边形BPCQ=S△GQB-S△GPC=√(2)x/4

即y=√(2)x/4(√(2)/2≤x≤√(2))

(3)因∠BPQ=∠BCQ=90°得BPCQ四点共圆得∠PQB=∠PCB=45°

故PB=PQ

(不用四点共圆同样可用全等相似及等腰证PB=PD=PQ)

△PCQ为等腰三角形只有一种可能：CQ=CP

此时∠CPQ=∠CQO=∠DCA/2=45/2=22.5°

∠APB=180-90-22.5=67.5°

∠ABP=180-45-67.5=67.5°

∴∠ABP=∠APB

∴AP=AB=1

CQ=CP=AC-AB=√(2)-1

则x=1    CQ=√(2)-1

Answer 2

没看到图。

Answer 3

8

Answer 4

(1)连结PD，△CPB≌△CPD得PB=PD，∠1=∠2

又∵∠1+∠4=∠4+∠3=180°，

∴∠1=∠3=∠2，

∴PQ=PD=PB

(2)如图，连结PD，延长BP交CD于E，

，△CPB≌△CPD得PB=PD，∠1=∠2

又∵∠1+∠4=∠4+∠3=90°，

∴∠1=∠3=∠2，

∴PQ=PD=PB

（3）∵PC=PQ，

∴∠3=∠QPC=1/2∠ACD=22.5°

∴∠1=22.5°，∠ABP=67.5°，又∵∠BAC=45°

∴∠APB=67.5°=∠ABP

∴AP=AB=4

Answer 5

没有图吗

Answer 6

(1)连BQ,因∠BCQ与∠BPQ互补，PBCQ四点共圆
∠PQB=∠PCB=45° 故PB=PQ.或连PD，先证△PCB≅△PCD
(SAS)得PB=PD ∠PBC=∠PDC 因为∠PBC与∠PQC互补(用四边形内角和等于360度)，
∠PQD和∠PQC互补(平角等于180度)
得∠PQD=∠PBC=∠PDQ得PD=PQ=PB
(2)由余弦定理得：PB=√((1^2)+(x^2)-2×1×x×(√(2)/2))=√((x^2)-√(2)x+1)
BQ=√(2)PB=√(2)×√((x^2)-√(2)x+1)=√(2((x^2)-√(2)x+1))
CQ=√((BQ^2)-(BC^2))=√(((√(2)X-1)^2))=1-√(2)X(X≤√(2)/2)
∴S△PBQ=(PB^2)/2=((x^2)-√(2)x+1)/2
∴S△BCQ=CQ×BC/2=(1-√(2)X)/2
S四边形PBCQ=S△PBQ+S△BCQ
∴y=((x-√(2))^2)/2(0≤x≤√(2)/2)
当Q在DC延长线上时：延长BP交CD于G,
△PAB∼△PCG
AB/GC=AP/PC 1/GC=X/(√(2)-X)⇒GC=(√(2)-X)/X⇒(GC^2)=([(√(2)-X)/X]^2)
(BG^2)=(1^2)+([(√(2)-X)/X]^2)
∴S△GPC=(1/2)×(√(2)-X)×[(√(2)-X)/X]×(√(2)/2)=[((√(2)-X)^2)√(2)]/4x
S△GQB/S△GPC=(GC^2)/(BG^2)={(1^2)+([(√(2)-X)/X]^2)}/([(√(2)-X)/X]^2)
∴S△GQB=[√(2)((x^2)-√(2)x+1)]/2x
∴S四边形BPCQ=S△GQB-S△GPC=√(2)x/4
即y=√(2)x/4(√(2)/2≤x≤√(2))
(3)因∠BPQ=∠BCQ=90°∠PQB=∠PCB=45°
故PB=PQ
(PB=PD=PQ)
△PCQ为等腰三角形只有一种可能：CQ=CP
此时∠CPQ=∠CQO=∠DCA/2=45/2=22.5°
∠APB=180-90-22.5=67.5°
∠ABP=180-45-67.5=67.5°
∴∠ABP=∠APB
∴AP=AB=1
CQ=CP=AC-AB=√(2)-1
则x=1 CQ=2)-1