Question

直线y=kx+b与椭圆x^2/4+y^2=1交于两点A,B.即三角形ABO的面积为S，当线段AB为2，S=1.求直线AB的方程

Answer 1

设O到AB距离h ，则S = 1 = (1/2)·lABl·h ，∴h = 1 ，由点到直线距离公式：
h = l0·k - 0 + bl / (1 + k^2)^(1/2) ，∴b^2 = 1 + k^2
将直线方程与椭圆方程联立得到：
x^2 + 4(kx + b)^2 = 4 和 4y^2 + [(y - b)^2/k^2] = 4
整理可得：
(1 + 4k^2)x^2 + 8bkx + 4(b^2 - 1) = 0 和 [4 + (1/k^2)]y^2 + y·(-2b/k^2) + [(b^2/k^2) - 4] = 0
分别应用韦达定理并代入b^2 = 1 + k^2：
x1 + x2 = -8bk/(1 + 4k^2) ，x1·x2 = 4k^2/(1 + 4k^2)
y1 + y2 = 2b/(1 + 4k^2) ，y1·y2 = (b^2 - 4k^2)/(1 + 4k^2)
(x1 - x2)^2 = (x1 + x2)^2 - 4x1·x2 = (64·b^2·k^2 - 16k^4 - 4k^2)/(1 + 4k^2)^2
(y1 - y2)^2 = (y1 + y2)^2 - 4y1·y2 = (64k^4 + 16k^2 - 16k^2b^2)/(1 + 4k^2)^2
根据两点间距离公式：
l AB l^2 = 4 = (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 = (48k^4 + 12k^2 + 48k^2·b^2)/(1 + 4k^2)^2
∴3(4k^4 + k^2 + 4k^2b^2) = (1 + 4k^2)^2
整理：12k^2·b^2 = 1 + 4k^4 + 5k^2
令t = k^2 》0 ，则b^2 = 1 + t
于是：12t(1 + t) = 1 +4t^2 + 5t ，整理得：8t^2 + 7t - 1 = 0解得t = -1或1/8
∵t 》0 ，∴t = 1/8
∴k^2 = 1/8 ，b^2 = 9/8
k1 = -(√2)/4 ，k2 = (√2)/4 ，b1 = -(3√2)/4 ，b2 = (3√2)/4
因此有4组解，∴对应4条直线方程：
L1：y = [-(√2)/4]·x + [-(3√2)/4]
L2：y = [-(√2)/4]·x + [(3√2)/4]
L3：y = [(√2)/4]·x + [-(3√2)/4]
L4：y = [(√2)/4]·x + [(3√2)/4]

Answer 2

联立方程组y=kx+b和x^2/4+y^2=/1
得（4k^2+1）x^2+8kbx+4b^2…………………………
判别式=16（4k^2-b^2+1）
AB=根号下（1+k^2）*|x1-x2|=2………………………………①
又∵O到AB得距离d=|b|/根号下(1+k^2)=2S/|AB|=1∴b^2=k^2+1………………………………②
把②代入①，得4k^4-4k^2+1=0
解得k^2=1/2，b^2=3/2
经检验判别式＞0
然后4组解
这是浙江07年的高考题