Question

高中数学~高手进。难题！

已知f(x)=ax/(ax+b)且不等式|f(x)|>2的解集为(-2,-2/3).
1.求f(x)的解析式
2.设数列{an}满足:a1=f(2005)+f(1/2005),a(n+1)=f(an)(n属于正整数),求an；
3.设bn=nf(1/an),Tn=1/b1+1/b2+1/b3+...+1/bn,求数列{an}的前n项和为Sn,求证:Tn＜Sn+2.
题中例如a(n+1)的n+1为下标

Answer 1

解,(1) f(x)=ax/(ax+b),由于|f(x)|>2,且a≠0,整理可得，
(x+2b/3a)(x+2b/a)=0,它的解集为(-2,-2/3)
可以得到，a=b，a=b=0(舍去)
f(x)=ax/(ax+a)=x/(x+1)。
(2) f(1/x)=1/(x+1)，所以，f(1)+f(1/x)=1，故，a1=f(2005)+f(1/2005)=1,
f(an)=an/(an+1)=a(n+1),
所以,1/a(n+1)=(an+1)/an=1/an+1,
也即是，1/a(n+1)-1/an=1,所以1/an是以1/a1为首相，公差为1的等差数列，
因此，1/an=n，那么，an=1/n
(3) bn=nf(1/an),那么，bn=n²/(n+1)，1/bn=(n+1)/n²=1/n+1/n²
Sn=1+1/2+1/3+……+1/n
Tn=(1+1/2+1/3+……+1/n)+(1+1/2²+1/3²+……+1/n²)
由于，当n≥2时，1/n²<1/n(n-1)=1/(n-1)-1/n
所以，1/2²+1/3²+……+1/n²<1-1/2+1/2-1/3+……+1/(n-1)-1/n=1-1/n=(n-1)/n<1
故，1+1/2²+1/3²+……+1/n²<2
也即是，Tn＜Sn+2.

Answer 2

1、显然ax≠0，ax+b≠0，a≠0，b≠0，于是：1/f(x)=1+b/(ax)
因为：|f(x)|>2 → |1/f(x)|=|1+b/(ax)|<½ → -½<1+b/(ax)<½ → -3/2<b/(ax)<-½ (1)
因为|f(x)|>2的解集为(-2,-2/3).，即：-2<x<-2/3，亦即：-3/2<1/x<-1/2 (2)
①若a、b同号，则(1)式变为：-3a/(2b)<1/x<-a/(2b)，
比较(1)、(2)可得：a/b=1
②若a、b异号，则(1)式变为：-a/(2b)<1/x<-3a/(2b)，
比较(1)、(2)可得：a/(2b)=3/2且3a/(2b)=½，显然两式矛盾！
所以由①、②可知：a/b=1，所以：f(x)=ax/(ax+b)=x/(x+b/a)=x/(x+1)
2、a1=f(2005)+f(1/2005)=2005/2006+(1/2005)/(1+1/2005)=1
因为：a(n+1)=f(an) → 1/a(n+1)=1/f(an)=(an+1)/an=1+1/an
可见：{1/an}是以1为首项，1为公差的等差数列，所以：1/an=n
所以：an=1/n
3、Sn=1+1/2+1/3+……+1/n=∑ai
因为：bn=nf(1/an)=n²/(n+1) → 1/bn=(n+1)/n²=1/n+1/n²=an+1/n²
所以：Tn=1/b1+1/b2+1/b3+...+1/bn=∑bi=∑(ai+1/i²)=Sn+∑1/i²=Sn+1+1/2²+1/3²+……+1/n²
<Sn+1+1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+……+1/[(n-1)*n]
=Sn+1+(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+[1/(n-1)-1/n]
=Sn+1+1-1/n
<Sn+2