Question

高一的一道三角函数题！！！高手请进。有必要的说多提供几种解法。好的话有分加。

在三角形ABC中,己知SinC＋COSC＝1－Sin（c/2），若a“2＋b“2＝4（a＋b）－8，求边c的值，拜托各位了！！！
要过程！！！这样有什么意思？！

Answer 1

解：由a²+b²＝4(a＋b)－8,(a-2)²+(b-2)²=0，得a-2=0且b-2=0，所以a=2，b=2，即△ABC为等腰三
角形。由余弦定理，cosC=(a²+b²-c²)/(2ab)=(8-c²)/8=1-c²/8，由二倍角公式
sin²C/2=(1-cosC)/2=c²/16，因为C/2为锐角，所以sinC/2=c/4，cosC/2=√(1-c²/16)=√(16-c²)/4，
将sinC/2、cosC/2的值代入己知式中，2sinC/2cosC/2+cosC=1-sinC/2，
2*c/4*√(16-c²)/4+1-c²/8=1-c/4，√(16-c²)=c-2，c²-2c-6=0，c=(2±√28)/2=1±√7，舍去负根，
c=1+√7即为所求。

Answer 2

由 sinC+cosC=1-sin(C/2) 得
sinC+sin(C/2)=1-cosC ，
由倍角公式得 2sin(C/2)cos(C/2)+sin(C/2)=2[sin(C/2)]^2 ，
两端约去 sin(C/2) 得 2cos(C/2)+1=2sin(C/2) ，
即 sin(C/2)-cos(C/2)=1/2 ，
两端平方得 1-2sin(C/2)cos(C/2)=1/4 ，
解得 sinC=2sin(C/2)cos(C/2)=3/4 ，代入已知可解得 cosC= -√7/4 。
由 a^2+b^2=4(a+b)-8 得 a^2-4a+4+b^2-4b+4=0 ，
即 (a-2)^2+(b-2)^2=0 ，
所以 a=2 ，b=2 ，
因此，由余弦定理得 c^2=a^2+b^2-2abcosC=4+4-2*2*2√7/4=8-2√7 ，
所以 c=√(8-2√7)=√7-1 。

Answer 3

c等于1