定积分的几何应用
如摆线的第一拱与x轴围成的图形饶y轴旋转一周怎么判断上下限，而且怎么判断下限大于上限还是上限大于下限 展开
答：对于任何几何图形上下限的确定，要根据函数所求的是什么，一般没有方向要求的，由你自己来定，只是保证所求的面积和体积是正数就可以了。如果函数的积分区间[-a,b](a>0,b>0) ,如果f(-a)<0,f(b)>0, 一定要找出f(x)=0的点，进行分段积分，如果函数在这一区间与x轴只有一个交点为c，你可以把区间分为[-a,c]和[c,b], 对于采取下限c、上限分别为-a 和b 的方法 f(x)dx+f(x)dx的两段积分。这就保证了你所求的面积值都是正数。
对于有方向的函数求积分，需要确定哪个方向为正，比如求水槽中侧壁的压力，因为水的压强越往深处压力越大，如果用正常坐标，上限选小的数值，下限选大的数值。除非你改变y轴坐标的方向向下，下限才可以选小的数值。对于周期函数，最好能避开整个周期的积分，因为周期函数的积分往往会出现0现象，一个周期的函数值相等。
对于你说的摆线与x轴围成的面积绕y轴旋转1周形成的体积，见下图：
根据圆环厚度为dx的体积：周长2πx*面积ydx，摆线的积分元为2πxydx, 积分区间0到π。
x=r(t-sint).............(1) dx=r(1-cost)dt
y=r(1-cost)...........(2)
V=2π∫(0,π/2) r(t-sint)r(1-cost)*r(1-cost)dt=2πr^3∫(0,π)(t-sint)(1-cost)^2dt
=2πr^3∫(0,π) (t-sint-2tcost+sin2t+tcos^2t-sintcos^2t)dt
=2πr^3[∫(0,π) (t-sint+sin2t)dt+∫(0,π)tcos2t/2-2tcost-sintcos^2t)dt]
=2πr^3[t^2/2](0,π)=π^3t^3
这道题，最好是用半径是π/2的圆柱，高是2r的体积减去旋转体摆线与y轴（区间[0,π/2]围成面积的旋转体+区间[π/2,π]的摆线与x轴围成的体积绕y轴的旋转体。
V=（π/2)^2*(2r)-2π∫(0,πr)x(2r-y)dx+2π∫(πr,2πr)xydx
=π^2r/2+2πr^3∫(π/2,π) (t-sint-2tcost+sin2t+tcos^2t-sintcos^2t)dt-2πr^3∫(0,π/2)(t-sint)(1-cost)dt 请自己计算，比较结果。
