Question

设函数f(x)=x/(2x+1),数列{an}满足a1=1，an+1=f(an)，n∈N*

（1）求证数列1/an是等差数列
（2）若数列an的前项和为sn，求证（2sn） -1＜0

Answer 1

an+1=f(an)=an/(2an+1)所以有：1/a(n+1)=(2an+1)/an=2+1/an
即1/a(a+1)-1/an=2;所以数列{1/an}是首项为1，公差为2的等差数列；
则：1/an=1+2(n-1)=2n-1;
an=1/(2n-1)
Sn=1/1+1/3+1/5+1/7+....+1/(2n-1)>1;
与你给的结论矛盾

Answer 2

(1)倒数法：a(n+1)=an/2an+1 等式两边同时取倒数 推得
1/a(n+1)=2an/an+1/an 即1/a(n+1)-1/an=2
所以1/an是以1为首项，公差为2的等差数列
(2) 暂时不会

Answer 3

（1）证明：因为f(an)=an+1,所以an+1=an/(2an+1).
因为1/(an+1)-1/an=(2an+1)/an-1/an=2，
所以数列{1/an}是以公差d=2的等差数列。
（2）因为数列{1/an}是以公差d=2的等差数列，
所以数列{1/an}的通项公式为：1/an=1/a1+(n-1)d=2n-1,
则an=1/(2n-1).
所以sn=(1+1/3+1/5+....+1/(2n-1))
(2sn)-1=2(1+1/3+1/5+....+1/(2n-1))=1+2(1/3+1/5+....+1/(2n-1))
上式应该大于0，是不是把题给抄错了？？？

Answer 4

第二问有问题