Question

已知：a+b+c=0,a^3+b^3+c^3=0,求证：对任何正的奇数n,均有a^n+b^n+c^n=0.

Answer 1

[[[注:一个公式
a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca). ]]]
证明:
由题设及上面公式,可得
-3abc=a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)=0
∴abc=0
∴a, b, c三数中,至少有一个为0.
不妨设c=0
则a+b=0
a=-b
∴a^n+b^n+c^n
=(-b)^n+b^n
=-b^n+b^n
=0

Answer 2

证明：根据恒等式:a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
由题意：a+b+c=0
a³+b³+c³=0
代入上面的恒等式得：
-3abc=0
即a,b,c中至少有一个为0
假设a=0
则b+c=0
b=-c
∵n为正奇数
∴b^n=-c^n
代入a^n+b^n+c^n
=b^n+c^n
=b^n-b^n
=0