Question

表面积相同的一个正方体和长方体谁的体积大?为什么?

Answer 1

对于平面形状，正方形、长方形，
相同的面积，是正方形的周长最短；相同的周长，就是正方形的面积最大；
对于立体形状，正方体、长方体，
相同的体积，是正方体的表面积最小；相同的表面积，就是正方体的体积最大。

为什么，你要什么样的原因呢？我们看几个具体例子吧
周长都是 20，正方形的边长就是 5，长方形的（长 + 宽）就是 10，
10 = 5+5 = 4+6 = 3+7 = 2+8 = 1+9
长 X 宽 的对应面积，就依次是 25、24、21、16、9
这样就看到，相同周长，是正方形的面积最大。

接着看看，面积都是 36，正方形的边长就是 6，长方形的（长 + 宽）又是多少呢？
36 = 6X6 = 4X9 = 3X12 = 2X18 = 1X36
对应的（长 + 宽）就是
6+6=12，4+9=13，3+12=15，2+18=20，1+36=37
对应的周长，就依次是 24、26、30、40、74
这样就看到，相同的面积，是正方形的周长最短。

继续看看立体形状，正方体和长方体
体积都是 8 = 1X1X8 = 1X2X4 = 2X2X2
长方体 1X1X8 的表面积，就是 2X1X1 + 4X1X8 = 2+32 = 34
长方体 1X2X4 的表面积，就是 2X2X4 + 2X1X6 = 16+12 = 28
正方体 2X2X2 的表面积，就是 2X2X6 = 24
这样就看到，相同的体积，是正方体的表面积最小。

毕竟计算表面积比较麻烦，相同表面积，正方体体积最大的例子，我们就不看了。

分析原因，我们还是借助示意图来看看吧。相同大小的小正方形拼面积相等的长方形，相同大小的小正方体拼体积相等的长方体，应该就是最能说明问题的例子。
我们用汉字 “口” 表示 1X1，面积是 1 的正方形，它的周长就是 4，看看吧，
2个 “口” 的正方形，周长和就是 8，拼成面积是 2 的长方形 “日” 之后，在 “日” 的中间就有 2条横边合二为一，它们重叠之后，也就再不是边长了，拼成长方形的 “日”，周长就是 6，减少了 2条边长 1的长度。

3个 “口” 的正方形，周长和就是 12，拼成面积是 3 的长方形之后，在 “目” 的中间有 2条横，合二为一重叠的边长，就有 4条，它们也再不是边长了，拼成长方形的 “目”，周长就是 8，减少了 4条边长 1的长度。

4个 “口” 的正方形，周长和就是 16，拼成面积是 4 的长方形，如果还是拼一条，就像 “直” 和 “真”，中间有 3横，重叠了 6条边，周长就减少了 6，变成 10。
如果 2X2 拼成 “田”，就又是正方形，中间的 “十” 字，就重叠减少了 8条边长 1，周长就变成 8

这样看来，相同的面积，为什么正方形周长最短，就是因为拼正方形重叠的边长最多。
同理，1X1X1 的小正方体，表面积就是 6X1X1=6，总共 8个的表面积就是 6X8=48，拼 8立方的长方体和正方体看看
如果拼一个长条，中间就只有 7个位置，重叠减少 14个 “口” 的 1X1 正方形平面，长方体 1X1X8 的表面积就是 48-14=34
如果拼一个正方体 2X2X2，中间三个方向就重叠了 3个 “田”，1X1 的正方形平面，就要减少了 6X4=24个，正方体 2X2X2 的表面积就是 48-24=24
相同的体积，为什么正方体的表面积最小，也是因为拼正方体重叠的正方形平面最多。

Answer 2

正方体体积大

正方体比长方体更节约面积

追问

？

追答

回答为什么，这是初中的知识。小学只能是知道是谁就可以了。

Answer 3

正方体，
类似 周长相等的长方形和正方形，面积正方形大
周长一样 越规则面积越大
表面积一样， 越规则体积越大

小学就只有这么记。
高中就用不等式

Answer 4

正方体

设长方体的三维是a,b,c，那么根据均值不等式：
ab+bc+ca≥3(abc)²的立方根，
左边是表面积的一半，为定值，右边的abc是体积。
这个不等式当且仅当a=b=c，也就是正方体的时候取“=”，此时体积最大。
也就是说“两个表面积相等的长方体和正方体,正方体的体积大”。