Question

三角形ABC是等腰直角三角形，角ACB=90度,AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E交AD于点F

请你猜想角ADC和角BDE的关系，并证明你的猜想

Answer 1

关系为：∠ADC=∠BDE。

证明

作BM垂直BC，交CE的延长线于M，则∠MBE=∠DBE=45°

∵∠PAH+∠APH=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∠APH=∠CPF

∴∠PAH=∠PCF

在△APH与△CEH中

∠PAH=∠ECH，AH=CH，∠PHA=∠EHC

∵∠ABG＝∠CBG-∠CBA＝90-45＝45

∴∠ABG＝∠CBA

∴△BDE≌△BGE （SAS）

∴∠BDE＝∠CGB

∴∠ADC＝∠BDE

按角分

判定法：

1、锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度。

2、直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度，可记作Rt△。

3、钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度。

Answer 2

关系为：∠ADC=∠BDE
证明:
作BM垂直BC,交CE的延长线于M,则∠MBE=∠DBE=45°.
∵∠CAD=∠BCM(都是∠ACE的余角)，AC=BC，∠ACD=∠CBM=90°.
∴△ACD≌⊿CBM,得:
∴BM=CD=DM，∠ADC=∠M.
∵BE=BE，∠MBE=∠DBE
∴△MBE≌△DBE(SAS).
∴∠ADC=∠M=∠BDE.

Answer 3

解：作CH⊥AB于H交AD于P，
∵在Rt△ABC中，AC=CB，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°．
∴∠HCB=90°-∠CBA=45°=∠CBA．
又∵BC中点为D，
∴CD=BD．
又∵CH⊥AB，
∴CH=AH=BH．
又∵∠PAH+∠APH=90°，∠PCF+∠CPF=90°，∠APH=∠CPF，
∴∠PAH=∠PCF．
在△APH与△CEH中
∠PAH=∠ECH，AH=CH，∠PHA=∠EHC，
∴△APH≌△CEH（ASA）．
∴PH=EH，
又∵PC=CH-PH，BE=BH-HE，
∴CP=EB．
在△PDC与△EDB中
PC=EB，∠PCD=∠EBD，DC=DB，
∴△PDC≌△EDB（SAS）．
∴∠ADC=∠BDE．