Question

如图所示, 光滑的水平轨道与竖直放置的光滑半圆形轨道顺接, 圆半径为R . 一小球由D点出发向A运动, 通过B点

如图所示, 光滑的水平轨道与竖直放置的光滑半圆形轨道顺接, 圆半径为R . 一小球由D点出发向A运动, 通过B点时加速度大小为2 g , 试求:
(1) 小球刚通过A点时对轨道的压力.
(2) 小球通过B点时对轨道的压力.
(3) 小球通过B点后的射程.

Answer 1

解：小球通过B点时，受重力和轨道压力，二者合力充当向心力，设此时小球的速度为v,压力为F，则有
mg+F=m(2g)
F=m v^2/R
所以，F=mg
即小球通过B点时，轨道对小球的压力为mg,而B点对轨道的压力与F为作用力与反作用力，故小球通过B点时对轨道的压力为mg
设小球通过A点时的速度为v_0，由机械能守恒定理
1/2m(v_0)^2=1/2mv^2+mg(2R)
v_0=√5gR
此时，小球受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，二者的合力充当向心力，设支持力为F_N
F_N-mg=m(v_0)^2/R
F_N=6mg
小球通过A点时受到的支持力与小球对轨道的压力为作用力与反作用力
所以球通过A点时对轨道的压力为6mg
当小球从B点飞离轨道时，做平抛运动
竖直方向自由落体
1/2gt^2=2R
水平方向匀速直线运动，射程（水平距离）为L
L=vt
计算得：L=2R

Answer 2

解：小球通过B点时，受重力和轨道压力，二者合力充当向心力，设此时小球的速度为v,压力为F，则有mg+F=m(2g)
F=m v^2/R
所以，F=mg
即小球通过B点时，轨道对小球的压力为mg,而B点对轨道的压力与F为作用力与反作用力，故小球通过B点时对轨道的压力为mg
设小球通过A点时的速度为v0，由机械能守恒定理
1/2m(v0)^2=1/2mv^2+mg(2R)
v0=√5gR
此时，小球受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，二者的合力充当向心力，设支持力为FN
FN-mg=m(v0)^2/R
FN=6mg
小球通过A点时受到的支持力与小球对轨道的压力为作用力与反作用力
所以球通过A点时对轨道的压力为6mg
当小球从B点飞离轨道时，做平抛运动
竖直方向自由落体
1/2gt^2=2R
水平方向匀速直线运动，射程（水平距离）为L
L=vt
计算得：L=2R