Question

在三角形ABC中，角ABC所对的边分别为abc，且1+tanA/tanB=2c/b。求角A

Answer 1

(1)因为
1
tanA/tanB
=1
(sinAcosB)/(cosAsinB)
=(sinAcosB
cosAsinB)/(cosAsinB)
=sin(A
B)/(cosAsinB)
=sinC/(cosAsinB)
再由正弦定理：sinC/sinB
=
c/b，所以
1/cosA
=
2，从而
cosA
=
1/2，A
=
60°.
(2)先计算
|m
n|²
的最小值，然后开方即可。
利用倍角公式，
m
n
=
(cosB，2cos²(C/2)-1)
=
(cosB，cosC)，所以
|m
n|²
=cos²B
cos²C
=(1
cos2B)/2
(1
cos2C)/2
=1
(cos2B
cos2C)/2
(利用和差化积公式)
=1
cos(B
C)cos(B-C)
=1-(1/2)cos(B-C)
所以若要
|m
n|²
取最小值，只要
cos(B-C)
取最大值，即
B
=
C
=
60°
时取到。
此时
|m
n|²
=
1/2，所以
|m
n|
=
根号2/2.