Question

如图已知,AB=BC，且AC垂直BC,D为AC上的一点，BD=2AE,AE垂直BE,求证：BE平分∠ABC

Answer 1

这道题要用到相似：
因为角AEB=角BCD，且角EDA=角CDB（对顶角相等），

所以三角形AED相似与三角形BCD，

故角EAD=角CBD。

又因为角CDB=角BAD+角DBA，

所以角EDA=角BAD+角DBA=角BAD+角EAD=角EAB，

所以三角形EAD与三角形EBA相似，

所以角EAD=角EBA。

又角EAD=角CBD，

所以角CBD=角EBA，

所以BE平分角ABC。

Answer 2

证明：如图，延长CE与BA交于点Q。因为CE垂直BD，所以角CED等于90度，又因为角ADB与角EDC是对顶角，所以角ACQ等于角ABD。又因角BAD等于90度，AB等于AC，所以三角形BAD全等于三角形CAQ（ASA）所以QC等于BD。因为CE等于二分之一的BD，所以QE等于EC，因为QE等于EC；角BEQ等于角BEC；BE等于BE。所以三角形BQE全等于三角形BCE，（SAS）所以角QBE等于角CBE，所以BD平分角ABC。