Question

求曲线z=根号(4-x^2-y^2)与z=根号3(x^2+y^2)所围立体体积

Answer 1

这两个是曲面而不是曲线吧，第一个函数化简得到z^2+x^2+y^2=4,z>0，是一个位于z轴正半轴的半径为2的半圆面；第二个函数是一个顶点为原点，开口向上，斜率为根号3的圆锥面。这两者所围部分为一个圆锥和一个球缺的合并体，圆锥高度为根号3，底面半径为1，体积为3^(1/2)π/3，球缺的半径为2，高度为2-3^(1/2)，体积为(π/3)(4+3^(1/2))*(2-3^(1/2))^2，总体积就是这两者之和，为(16-8*3^(1/2))π/3。

Answer 2

求曲面z=√(4-x²-y²)与z=√[3(x²+y²)]所围立体体积
解：曲面z=√(4-x²-y²)是顶点在原点，半径R=2的球面x²+y²+z²=4的上半部分；曲面z=√[3(x²+y²)]
是顶点在原点，以z轴正向为轴线的锥顶朝下的锥面；
令√(4-x²-y²)=√[3(x²+y²)]，得4-x²-y²=3(x²+y²)，化简得x²+y²=1，z=√3；即球面与锥面的交线是
一个距xoy平面的距离为√3，圆心在z轴上，且半径=1的圆；因此这两个曲面所围体积是一个圆
锥与一个球缺(球缺底面半径r=1，球面半径R=2，高度h=2-√3)的体积之和，即：
V=(1/3)π×1²×√3+(1/6)π×(2-√3)²[2-(2-√3)/3]=(√3/3)π+[(16-9√3)/18]π=(8/9-√3/6)π