Question

在三角形ABC中,角ACB为锐角,点D为线段BC上一点,

Answer 1

(1)直线bd与直线ce所夹锐角α为:
0°＜α＜60°,
(2)不成立。
∵当点d在线段bc的延长线上时,
直线bd与直线ce所夹锐角α＞60°,
∴在(1)中得到的结论不成立。
(3)不成立。
当∠acb=60°时，能使(1)中的结论成立,
∵当∠acb=60°时，点d在线段bc上，
0°＜∠adc＜120°,
∴直线bd与直线ce所夹锐角α为:
0°＜α＜60°。

Answer 2

考点：正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．专题：动点型；探究型．分析：（1）当CF与BD位置关系为互相垂直，数量关系是相等．首先证明△DAB≌△FAC，然后推出∠ACF=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，求出CF⊥BD；
（2）根据题意画出图形来理解．学会数形结合解答问题．
（3）过点A作AG⊥AC，证明△GAD≌△CAF后可证得CF⊥BD；
（4）作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，利用勾股定理求出AQ=CQ=2，证明△AQD∽△DCP，利用线段比求出CP的值．解答：解：（1）①CF与BD位置关系是垂直、数量关系是相等；（1分）
②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立（如图3）．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（3分）
（2）①画出图形（如图4），判断：（1）中的结论不成立．
②画出图形（如图5），判断：（1）中的结论不成立．（4分）
（3）当∠BCA=45°时，CF⊥BD（如图6）．
理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，
∴AC=AG．
∵∠BCA=45°，
∴∠AGD=45°，
∴△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°．
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°
即CF⊥BD．（5分）
（4）当具备∠BCA=45°时，
过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，（如图7），
∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，
∵∠BCA=45°，AC=2
2
，
∴由勾股定理可求得AQ=CQ=2．
设CD=x，∴DQ=2-x，
∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°
且∠ADE=90°，
∴∠ADQ+∠PDC=90°，
又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°
∴∠ADQ=∠DPC，
∵∠AQD=∠DCP=90°
∴△AQD∽△DCP，
∴CP
DQ
=CD
AQ
，∴CP
2-x
=x
2
．
∴CP=-1
2
x2+x=-1
2
（x-1）2+1
2
．（7分）
∵0＜x≤3
2
，
∴当x=1时，CP有最大值1
2
．（8分）