Question

已知数列{an}满足Sn+an=2n+1 1.写出a1,a2,a3,并推测an的表达式 2.用数

Answer 1

(1)
a1＝3/2
,
a2＝7/4
,
a3＝15/8
,
猜测
an＝2－
1/2^n
(2)
①由（1）已得当n＝1时，命题成立；
②假设n＝k时,命题成立，即
ak＝2－1/2^k
,
当n＝k＋1时,
a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,
且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak
∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2ak＋1＝2＋2－1/2^k
,
ak＋1＝2－1/2^k+1
,
即当n＝k＋1时,命题成立.
根据①②得n∈N+
,
an＝2－1/2^n
都成立

Answer 2

(1)
a1＝3/2
,
a2＝7/4
,
a3＝15/8
,
猜测
an＝2－
1/2^n
(2)
1)由（1）已得当n＝1时，命题成立；
2)假设n＝k时,命题成立，即
ak＝涪辅帝恍郜喝佃桶顶垃2－1/2^k
,
3)当n＝k＋1时,
a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1,
且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak
∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2ak＋1＝2＋2－1/2^k
,
ak＋1＝2－1/2^k+1
,
即当n＝k＋1时,命题成立.
所以n∈n+
,
an＝2－1/2^n
都成立