Question

在△ABC中,求证sin²A/2+sin²B/2+sin²C/2=1-2sinA/2sinB/2sinC/2

Answer 1

在△ABC中，有恒等式：cosA＋cosB＋cosC＝1＋4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）。
∴1－2［sin（A/2）］^2＋1－2［sin（B/2）］^2＋1－2［sin（C/2）］^2
＝1＋4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2），
∴－2｛［sin（A/2）］^2－［sin（B/2）］^2－［sin（C/2）］^2｝
＝－2＋4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2），
∴［sin（A/2）］^2－［sin（B/2）］^2－［sin（C/2）］^2
＝1－2sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）。

下面证明恒等式：cosA＋cosB＋cosC＝1＋4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）。
cosA＋cosB＋cosC
＝2cos［（A＋B）/2］cos［（A－B）/2］＋1－2［sin（C/2）］^2
＝1＋2cos［（A＋B）/2］cos［（A－B）/2］－2｛sin［π/2－（A＋B）/2］｝^2
＝1＋2cos［（A＋B）/2］cos［（A－B）/2］－2｛cos［（A＋B）/2］｝^2
＝1＋2cos［（A＋B）/2］｛cos［（A－B）/2］－cos［（A＋B）/2］｝
＝1＋2cos（π/2－C/2）×2sin（A/2）sin（B/2）
＝1＋4sin（A/2）sin（B/2）sin（C/2）。