Question

已知圆C：（x+2）2+y2=4，相互垂直的两条直线l1、l2都过点A（a，0）...

已知圆C：（x+2）2+y2=4，相互垂直的两条直线l1、l2都过点A（a，0）． （Ⅰ）若l1、l2都和圆C相切，求直线l1、l2的方程； （Ⅱ）当a=2时，若圆心为M（1，m）的圆和圆C外切且与直线l1、l2都相切，求圆M的方程； （Ⅲ）当a=-1时，求l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值．

Answer 1

解：（1）根据题意得l1，l2的斜率都存在，设l1：y=k(x-a)，则l2：y=-1k(x-a)（1分）
则|2k+akk2+1=2|2+ak2+1=2k=±1，a=-2±22
∴l1，l2的方程分别是l1：y=x-22+2与l2：y=-x+22-2；或l1：y=x+22+2与l2：y=-x-22-2（6分）
（Ⅱ）设圆的半径为r，则(1-2)2+m2=2r2(1+2)2+m2=(2+r)2解得r=2m=±7，
所以所求圆M的方程为(x-1)2+(y±7)2=4（11分）
（Ⅲ）当a=-1时，l1、l2被圆C所截得弦的中点分别是E、F，当a=-1时，l1、l2被圆C所截得弦长分别是d1、d2；圆心为B，则AEBF为矩形，
所以BE2+BF2=AB2=1，即(4-(d12)2)+(4-(d22)2)=1∴d12+d22=28，（14分）
所以d1+d2≤2d21+d22=214
即l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值214（16分）