Question

函数f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1 的最小值是多少？它存在最小值！

Answer 1

先求导，f′（x）=4x³+3x²+2x+1

令导数为0，解4x³+3x²+2x+1=0

∵题目要求最小值，而函数定义域为R∴最小值不会是﹣∞

把方程解得的三个解【包括虚根】带到原函数就知道最小值。

三次方程可以用卡当公式求解：

代数基本定理：任何一个一元复系数多项式都至少有一个复数根。也就是说，复数域是代数封闭的

卡当公式:

x³+ax²+bx+c=0

令y=x+a/3则：

(y-a/3)³+a(y-a/3)²+b(y-a/3)+c=y³+py+q=0......①

∴p=b-a²/3,q=c-ab/3+2a³/27

令y=u+v则：

y³=(u+v)³=3uvy+u³+v³

y³-3uvy-(u³+v³)=0

如果在复数内存在U和V使U³+V³=-q,U³V³=-p/3,

那么Y=U+V就是方程①的根，故问题转化为解方程组②③：

u³+v³=-q……②

(uv)³=-p³/27……③

得到：

u³=-q/2+√(q²+p³/27)

v³=-p/2-√(q²/4+p³/27)

∴y1=u+v
或
y2=ωu+ω²v
或
y3=ω²u+ωv

∴x1=-a/3+u+v
;
x2=-a/3+ωu+ω²v
;
x3=-a/3+ω²u+ωv

【PS：ω=e^(2iπ/3)
i为虚数单位】

Answer 2

解：f′(x)=4x³+3x²+2x+1

f″(x)=12x²+6x+2>0
为凹函数则其存在最小值

则f′(x)单调递增

令f′(x)=0

用塔塔利亚解法（也可用计算机算）

可求得x≈-0.6

=>f(x)的最小值为
f(-0.6)=0.67