Question

如何证明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

Answer 1

证法1：
ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D
∴
AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C'
∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD
∠C’AD=∠AC’D
（等边对等角）
又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D
=180°（三角形内角和定理）
∴∠BAD+∠C’AD=90°
即：∠BAC’=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠BAC=∠BAC’
∴C与C’重合（也可用垂直公理证明
：假使C与C’不重合
由于CA⊥AB，C’A⊥AB
故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直
这就与垂直公理矛盾
∴假设不成立
∴C与C’重合）
∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理
证法2：
ΔABC是直角三角形，AD是BC上的中线，作AB的中点E，连接DE
∴BD=CB/2，DE是ΔABC的中位线
∴DE‖AC（三角形的中位线平行于第三边）
∴∠DEB=∠CAB=90°（两直线平行，同位角相等）
∴DE⊥AB
∴E是AB的垂直平分线
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
∴AD=CB/2
证法3：运用向量证明
已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线。求证BC=2AD
证明：设向量AC=b，向量AB=c，向量BC=a，向量AD=d
∵AD是BC的中线
∴c+b=2d
∴（c+b）²=4d²
展开括号，得|c|²+2c·b+|b|²=4|d|²
又∵c⊥b
∴c·b=0，|c|²+|b|²=|a|²
∴得|a|²=4|d|²
开方得|a|=2|d|，即BC=2AD
证法4：运用矩形的性质证明
延长AD到E,使DE=AD,连接BE,CE
∵BD=CD，∠BAC=90°
∴四边形ABEC是矩形
∴BC=AE=2AD
证法5：解析几何证明
以A为原点，AC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，并设C（2c,0），B（0，2b），那么D（c，b）
|AD|=
|BC|=
=
=2|AD|
证法6：圆
作Rt△ABC外接圆
∵∠BAC=90°
∴BC是直径（90°的圆周角所对的弦是直径）
∴D是圆心，AD是半径
∴BC=2AD