Question

求证：平行四边形的一组对边的中点的连线必与对角线互相平分

Answer 1

1、一楼和二楼的证明是错误的，因为都假定了ef过ac、bd的交点o。三楼的证明需要连线。其实用三角形的中位线定理，此题很简单。
2、证明：
设□abcd是平行四边形，e、f分别是dc、ab的中点，连接ef交ac于o，
则dc‖＝ab，ae=1/2ab，df=1/2dc，ad=bc
∴ae‖＝df，
∴□aefd是平行四边形，
∴ef‖＝ad，
在△cad中f是ca的中点，
有of‖＝1/2ad，oa=oc，
在△abc中e是ab的中点，
∴oe=1/2bc
oe=of
故ef和ac互相平分于o。
同理，设ef和bd相交于o',可以证明ef和bd平分于o=o'。
3、这里没有要求证明o和o'重合。如果把题目换成是“平行四边形对边中点的连线必被·对角线的交·点·平分”，那么题就难的多了，就得证明o和o'重合。你试试证明一下。
4、其实平行四边形abcd对角线ac、bd的交点o，是它的重心，o点平分过o点的任意直线在一组对边ab、cd（或ad、bc）所截成线段kg或k'g'。想想看，为什么？很好证明的。

Answer 2

用解析几何可以吗？
设平行四边形顺时针的连续3点是
A(x1,y1)
B(x2,y2)
C(x3,y3)
因为平行四边形对角线互相平分所以D(x1+x3-x2,y1+y3-y2)
所以AB中点E((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
CD中点F((x1+2x3-x2)/2,(y1+2y3-y2)/2)
EF的中点就是O((x1+x2)/2,(y1+y3)/2)
而平行四边形对角线中点也是这个坐标
所以它们是同一点
所以平行四边形的一组对边的中点的连线必与对角线互相平分

Answer 3

设平行四边形ABCD，取BC,AD中点E,F。连接EF,AC交于O
则由平行线间线段比例关系知，AO/OC=EO/OF=AE/CF
因为E,F是中点，所以AE=CF
所以AO=OC,EO=OF

Answer 4

先证明中点连线必然与另外两边平行
然后连接对角线，证明所形成的三角形的相似性和全等性
既然相似就可以按一定比例平分
确定一边是中点了，则可以证明相互平分