Question

三角形ABC中，AB＝AC＝20，∠B等于15°，则△ABC的面积等于多少

Answer 1

解：过C作CD⊥AB,交BA的延长线于D，
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠ACB=15°（等边对等角）
∴∠CAD=∠B+∠ACB=30°（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和）
则在Rt△ABD中，有
AD=1/2AC=10（在直角三角形中,如果一个锐角等于30度,那么它所对的直角边等于斜边的一半）
∴△ABC的面积S=AB•BD/2
=20×10/2
=100

引申（求15°角、75°角的三角函数值）：
使用上述解答过程的辅助线
在Rt△BDC中
AB=BC=2CD
AD=√3CD
∴BD=AB+AD=(2＋√3)CD
∴BC²=AD²+BD²
=CD²+(2+√3)²CD²
=2(4+2√3)CD²
=2[(√3)²+2√3+1²]CD²
=2(√3+1)²CD²
∴BC=(√6+√2)CD
∴CD/BC=1/(√6+√2)
=(√6-√2)/4
即sinB=(√6-√2)/4
cosB=BD/BC
=(2＋√3)/(√6+√2)
=(√6+√2)/4
而∠B=15°
∴sin15°=(√6-√2)/4
cos15°=(√6+√2)/4
tan15°=2-√3
cot15°=2+√3
sin75°=cos15°=(√6+√2)/4
cos75°=sin15°=(√6-√2)/4
tan75°=cot15°=2+√3
cot75°=tan15°=2-√3