在半径为R的球中，求体积最大的内接圆锥体的高？
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【解法一】
设内接圆锥的高为h，底面半径为r，体积为V，
则V=π/3×r2×h=π/3×r2×（R+√（R2-r2)).
令r=Rcosθ（0＜θ＜π/2），
于是V=π/3×R3×cos2θ（1+sinθ）
=π/6×R3（2（1-sinθ）（1+sinθ）（1+sinθ）
＜=π/6×R3（（2（1-sinθ）+（1+sinθ）+（1+sinθ））/3）3
=32/81×πR3
当且仅当2（1-sinθ）=1+sinθ，即sinθ=1/3时等号成立，
这时h=R（1+sinθ）=4 R /3.
那么圆锥半径r^2=R^2-(4R/3-R)^2=8R^2/9
体积=派*r^2*h/3=32派R^3/81
【解法二】
设圆锥半径为r，那么圆锥的高可表示为[R+√(R^2-r^2)],
式中，√表示开平方，
圆锥的体积可表示为
V=π*r^2*[R+√(R^2-r^2)]/3
对r求导数并令其等于零，可得
R^2+√(R^2-r^2)-r^2/(2*√(R^2-r^2)=0
解上述方程可得
r=2*R*√(2)/3
此时圆锥的体积最大，对应的高为
h=R+R/3=4*R/3
设内接圆锥的高为h，底面半径为r，体积为V，
则V=π/3×r2×h=π/3×r2×（R+√（R2-r2)).
令r=Rcosθ（0＜θ＜π/2），
于是V=π/3×R3×cos2θ（1+sinθ）
=π/6×R3（2（1-sinθ）（1+sinθ）（1+sinθ）
＜=π/6×R3（（2（1-sinθ）+（1+sinθ）+（1+sinθ））/3）3
=32/81×πR3
当且仅当2（1-sinθ）=1+sinθ，即sinθ=1/3时等号成立，
这时h=R（1+sinθ）=4 R /3.
那么圆锥半径r^2=R^2-(4R/3-R)^2=8R^2/9
体积=派*r^2*h/3=32派R^3/81
【解法二】
设圆锥半径为r，那么圆锥的高可表示为[R+√(R^2-r^2)],
式中，√表示开平方，
圆锥的体积可表示为
V=π*r^2*[R+√(R^2-r^2)]/3
对r求导数并令其等于零，可得
R^2+√(R^2-r^2)-r^2/(2*√(R^2-r^2)=0
解上述方程可得
r=2*R*√(2)/3
此时圆锥的体积最大，对应的高为
h=R+R/3=4*R/3
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