Question

已知等腰三角形腰上的中线长为根号三，则该三角形的面积的最大值是？（请写明过程，谢谢。）

Answer 1

首先设腰长为2a，中线将三角形分为两半，两半的面积相等，取顶角那边的一半形成一个新三角形，此三角形的三边为a,2a,√3设顶角为c则由余弦定理得3=a^2+4a^2-4(a^2)cosc所以a^2=3/(5-4cosc)，又由正弦定理得此三角形的面积S=1/2*a*2a*sinc=(a^2)sinc=3sinc/(5-4cosc)，然后对S求导得S'=(-15cosc+12cos^2c+12sin^2c)/(5-4cosc)^2=(-15cosc+12)/(5-4cosc)^2，令S'=0得cosc=4/5且当cosc<4/5时S'>0，S单调增，当cosc>4/5时S'<o，S单调减，所以S在cosc=4/5处取极大值，且此极大值为最大值，此时sinc=3/5所以Smax=(3*3/5)/(5-4*4/5)=1所以三角形的最大面积为2S=2