Question

为什么导函数的间断点只能为第二类间断点？求答案

Answer 1

导函数f'(x0)存在，那么f'(x0)=lim
[f(x)-f(x0)]/(x-x0)存在（左趋近、右趋近都存在且相等）若f'(x)在x=x0处为跳跃间断点，则lim左趋近
f'(x)不等于lim右趋近
f'(x)，而lim左趋近
[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim右趋近
[f(x)-f(x0)]/(x-x0)用洛必达法则可知，lim左趋近
f'(x)=lim右趋近
f'(x)矛盾若f‘(x)在x=x0处为可去间断点，这和f'(x0)是x=x0处的导数定义式f'(x0)=lim
[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim
f'(x)
（洛必达法则）相矛盾综上，f'(x)在x=x0处不可能有第一类间断点

Answer 2

直观想下，第一了间断点其实还是在极限存在的情况下的，第二类就彻底没的了。导函数是对原函数的斜率，所以斜率要么是存在的，要么是无穷的啊，所以只能是第二类间断点，我看全书的时候就这么想的，不知道对不对哈。