Question

如图所示，已知AB为圆O的直径，C为圆O上的一点，CD垂直于AB于D，AD=9，BD=4，以C为中心，CD为半径的圆与圆O

相交于P,Q两点，弦PQ交CD于E，则PE*EQ的值是

Answer 1

解：∵C为圆O上的一点 ∴∠ACB＝90°
又∵CD⊥AB于D ∴CD为Rt△ABC的高
∴CD²＝AD·BD＝9×4＝36 ，CD＝6
在圆O和圆C中应用相交弦定理，有
PE·EQ＝CE·(2CD-CE)=DE·(2CD-DE)
即CE·(12-CE)=DE·(12-DE)
而CE＝CD-DE＝6-DE
∴(6-DE)·[12-(6-DE)]=DE·(12-DE)
即36-DE²＝12DE-DE²，DE＝3
∴PE·EQ＝DE·(12-DE)＝3(12-3)＝27

Answer 2

设直线CD交小圆于M、交圆O于N。
因为AB为圆O的直径，C为圆O上的一点，CD垂直于AB于D
所以CD=DN
CD²=AD*BD
CD=6
CD＝DN＝CM＝6
由相交玄定理得
PE×EQ＝ME×DE＝CE×EN
　　　　（6＋CE）（6－CE）＝CE×（12－CE）
　　　　　CE＝3
PE×EQ＝（6＋CE）（6－CE）＝27