Question

证明是线性空间

Answer 1

不好意思，忙着别的事，现在才回复，不晚吧？若有不懂之处，直接hi我留言即可。
引理：a=【a1,...，ak】的秩和u=【u1,u2,。。。，uk】的秩都是k，此时
a和u的列向量张成的空间（在下面分别记为w1和w2）是同样的充要条件
是存在可逆阵q，使得a=uq。这个你自己很容易证明的。
先设r=d=diag(d1,d2,。。。,dk)，由条件r是非奇异的。
易知sai=ara(h)ai=ad(ei)=di*ai，1<=i<=k，因此
w1是由属于s的不等于0的特征值对应的特征向量张成的空间，
同样w2也是由属于s的不等于0的特征值对应的特征向量张成的空间，
因此w1=w2。
一般情况下，r是hermite阵，故存在酉阵q，使得
qrq(h)=d，于是s=aqd(aq)(h)，由引理，
w1和aq的列向量张成的空间是同一个，
而由刚才的证明，aq的列向量张成的空间=w2，因此
还是有w1=w2。证毕。